5068. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f:A\to\mathbb{R}$ je parna ako važe dva uslova: (1) skup $A$ je simetričan u odnosu na $0 ,$ tj. iz $x\in A$ sledi $-x\in A$ ; (2) za svako $x\in A$ važi $f(-x)=f(x) .$ Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na $y$ -osu.

Prvi uslov: logaritam je definisan kada je njegov argument pozitivan. Dopunjavanjem do potpunog kvadrata pokazujemo da su i brojilac i imenilac uvek pozitivni:

1+x+x^2=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0, \qquad 1-x+x^2=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0

Razlomak je zato uvek pozitivan i funkcija je definisana za svaki realan broj. Skup $\mathbb{R}$ je simetričan u odnosu na $0 .$

Drugi uslov: kada umesto $x$ stavimo $-x ,$ izraz $1+x+x^2$ postaje $1-x+x^2 ,$ a $1-x+x^2$ postaje $1+x+x^2 .$ Brojilac i imenilac zamene mesta, tj. razlomak se zameni svojom recipročnom vrednošću:

y(-x)=(-x)\ln\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}

Logaritam recipročne vrednosti je suprotan broj: $\ln\frac1u=\ln1-\ln u=-\ln u .$ Dva minusa daju plus:

y(-x)=(-x)\cdot\left(-\ln\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}\right)=x\ln\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}=y(x)

Na primer, $y(1)=\ln3$ i $y(-1)=(-1)\cdot\ln\frac13=\ln3 .$ Oba uslova su ispunjena, pa je funkcija parna.

Započni učenje

Online časovi

88.d

Beleške