1203. Stepen sa racionalnim izložiocem

REŠENJE ZADATKA

Prepoznajemo da je leva strana jednakosti u obliku proizvoda koji odgovara formuli za zbir kubova. Podsetimo se te formule:

(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3

Posmatramo delove našeg izraza i uvodimo smene $a = x^{\frac{1}{3}}$ i $b = y^{\frac{1}{3}} .$

Proveravamo da li druga zagrada odgovara obliku $a^2 - ab + b^2 .$ Računamo kvadrate i proizvod:

a^2 = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = x^{\frac{2}{3}}, \quad ab = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}, \quad b^2 = \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^2 = y^{\frac{2}{3}}

Pošto dati izraz u potpunosti odgovara formuli za zbir kubova, primenjujemo je na levu stranu zadate jednakosti:

\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^3

Primenjujemo pravilo za stepenovanje stepena $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ da bismo pojednostavili izraz.

x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + y^{\frac{1}{3} \cdot 3}

Množenjem eksponenata računamo konačne stepene:

x^1 + y^1 = x + y

Dobijeni izraz je identičan desnoj strani početne jednačine, čime je jednakost u potpunosti dokazana.

x + y = x + y

61.b