1197. Stepen sa racionalnim izložiocem

Da bismo dokazali jednakost, možemo uvesti smenu kako bismo uprostili izraz na levoj strani. Neka je $a = x^{\frac{1}{3}}$ i $b = y^{\frac{1}{3}} .$

a = x^{\frac{1}{3}}, \quad b = y^{\frac{1}{3}}

Kvadriranjem ovih smena dobijamo preostale članove iz druge zagrade na levoj strani jednakosti:

a^2 = x^{\frac{2}{3}}, \quad b^2 = y^{\frac{2}{3}}

Zamenjujemo ove vrednosti u levu stranu polazne jednakosti:

(a - b)(a^2 + ab + b^2)

Prepoznajemo da je dobijeni izraz zapravo poznata algebarska formula za razliku kubova.

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

Sada vraćamo prvobitne vrednosti za $a$ i $b$ u dobijeni izraz $a^3 - b^3 :$

\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^3

Stepenovanjem računamo krajnji rezultat, množeći izložioce prema pravilu $(p^m)^n = p^{m \cdot n} :$

x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 - y^1 = x - y

Pošto smo transformacijom leve strane dobili izraz koji je tačno jednak desnoj strani, jednakost je uspešno dokazana.

x - y = x - y

1197.Stepen sa racionalnim izložiocem