1197.

61.v

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakost:

(x13−y13)(x23+x13y13+y23)=x−y\left(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}\right) = x - y
REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost, možemo uvesti smenu kako bismo uprostili izraz na levoj strani. Neka je a=x13 a = x^{\frac{1}{3}} i b=y13. b = y^{\frac{1}{3}} .

a=x13,b=y13a = x^{\frac{1}{3}}, \quad b = y^{\frac{1}{3}}

Kvadriranjem ovih smena dobijamo preostale članove iz druge zagrade na levoj strani jednakosti:

a2=x23,b2=y23a^2 = x^{\frac{2}{3}}, \quad b^2 = y^{\frac{2}{3}}

Zamenjujemo ove vrednosti u levu stranu polazne jednakosti:

(a−b)(a2+ab+b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)

Prepoznajemo da je dobijeni izraz zapravo poznata algebarska formula za razliku kubova.

(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

Sada vraćamo prvobitne vrednosti za a a i b b u dobijeni izraz a3−b3: a^3 - b^3 :

(x13)3−(y13)3\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(y^{\frac{1}{3}}\right)^3

Stepenovanjem računamo krajnji rezultat, množeći izložioce prema pravilu (pm)n=pm⋅n: (p^m)^n = p^{m \cdot n} :

x13⋅3−y13⋅3=x1−y1=x−yx^{\frac{1}{3} \cdot 3} - y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^1 - y^1 = x - y

Pošto smo transformacijom leve strane dobili izraz koji je tačno jednak desnoj strani, jednakost je uspešno dokazana.

x−y=x−yx - y = x - y