1202. Stepen sa racionalnim izložiocem

Polazimo od leve strane jednakosti i primenjujemo formulu za kvadrat binoma $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 :$

(x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{-\frac{1}{2}})^2 + 2 x^{-\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{2}})^2

Množimo izložioce po pravilu $(x^a)^b = x^{ab}$ i sabiramo ih kod srednjeg člana po pravilu $x^a x^b = x^{a+b} :$

= x^{-1} + 2x^0 + x^1

Znamo da je $x^0 = 1$ i $x^{-1} = \frac{1}{x} ,$ pa izraz postaje:

= \frac{1}{x} + 2 + x

Svodimo sve sabirke na zajednički imenilac, koji u ovom slučaju iznosi $x :$

= \frac{1}{x} + \frac{2x}{x} + \frac{x^2}{x} = \frac{1 + 2x + x^2}{x}

Prepoznajemo da je izraz u brojiocu kvadrat binoma $(x + 1)^2 .$ Time dobijamo desnu stranu početne jednakosti:

= \frac{(x + 1)^2}{x}

Pošto smo pokazali da se leva strana transformiše u desnu, identitet je uspešno dokazan.

(x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})^2 = \frac{(x + 1)^2}{x}

1202.Stepen sa racionalnim izložiocem