Razlika kubova sa osnovama 50, 30 i 18

Primetimo da se osnove unutar prve zagrade mogu rastaviti na činioce koji se pojavljuju u drugoj zagradi. Izrazimo 50, 30 i 18 preko 5 i 3:

50^x = (2 \cdot 25)^x = 2^x \cdot (5^2)^x = 2^x \cdot (5^x)^2 \\ 30^x = (2 \cdot 15)^x = 2^x \cdot (5 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 5^x \cdot 3^x \\ 18^x = (2 \cdot 9)^x = 2^x \cdot (3^2)^x = 2^x \cdot (3^x)^2

Zamenimo ove vrednosti u originalni izraz i uočimo zajednički faktor $2^x$ u prvoj zagradi:

(2^x \cdot (5^x)^2 + 2^x \cdot 5^x \cdot 3^x + 2^x \cdot (3^x)^2)(5^x - 3^x)

Izvucimo $2^x$ ispred prve zagrade:

2^x \cdot ((5^x)^2 + 5^x \cdot 3^x + (3^x)^2)(5^x - 3^x)

Prepoznamo formulu za razliku kubova $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ,$ gde je $a = 5^x$ i $b = 3^x :$

2^x \cdot ((5^x)^3 - (3^x)^3)

Primenimo pravilo stepenovanja $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ i sredimo konačan izraz:

2^x \cdot (5^{3x} - 3^{3x}) = 2^x \cdot 125^x - 2^x \cdot 27^x = 250^x - 54^x

11.d