962.

Stepen čiji je izložilac ceo broj

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati izraz sa stepenima, uz uslov x≠0: x \neq 0 :

(2x1−2−x+2−x1+2−x)−(2x2−x+1−12−x−1)\left( \frac{2^x}{1 - 2^{-x}} + \frac{2^{-x}}{1 + 2^{-x}} \right) - \left( \frac{2^x}{2^{-x} + 1} - \frac{1}{2^{-x} - 1} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati negativne eksponente koristeći pravilo a−n=1an a^{-n} = \frac{1}{a^n} kako bismo olakšali rad sa razlomcima.

2−x=12x2^{-x} = \frac{1}{2^x}

Sredimo izraze u imeniocima unutar prve zagrade:

1−2−x=1−12x=2x−12x,1+2−x=1+12x=2x+12x1 - 2^{-x} = 1 - \frac{1}{2^x} = \frac{2^x - 1}{2^x}, \quad 1 + 2^{-x} = 1 + \frac{1}{2^x} = \frac{2^x + 1}{2^x}

Zamenimo ove vrednosti u prvu zagradu i sredimo dvojne razlomke:

2x2x−12x+12x2x+12x=22x2x−1+12x+1\frac{2^x}{\frac{2^x - 1}{2^x}} + \frac{\frac{1}{2^x}}{\frac{2^x + 1}{2^x}} = \frac{2^{2x}}{2^x - 1} + \frac{1}{2^x + 1}

Sada sredimo drugu zagradu na sličan način:

2x12x+1−112x−1=2x1+2x2x−11−2x2x=22x2x+1−2x1−2x\frac{2^x}{\frac{1}{2^x} + 1} - \frac{1}{\frac{1}{2^x} - 1} = \frac{2^x}{\frac{1 + 2^x}{2^x}} - \frac{1}{\frac{1 - 2^x}{2^x}} = \frac{2^{2x}}{2^x + 1} - \frac{2^x}{1 - 2^x}

Primetimo da je 1−2x=−(2x−1), 1 - 2^x = -(2^x - 1) , pa drugi razlomak u drugoj zagradi postaje pozitivan:

22x2x+1+2x2x−1\frac{2^{2x}}{2^x + 1} + \frac{2^x}{2^x - 1}

Sada oduzimamo sređene izraze iz prve i druge zagrade:

(22x2x−1+12x+1)−(22x2x+1+2x2x−1)\left( \frac{2^{2x}}{2^x - 1} + \frac{1}{2^x + 1} \right) - \left( \frac{2^{2x}}{2^x + 1} + \frac{2^x}{2^x - 1} \right)

Grupišemo članove sa istim imeniocima:

(22x2x−1−2x2x−1)+(12x+1−22x2x+1)\left( \frac{2^{2x}}{2^x - 1} - \frac{2^x}{2^x - 1} \right) + \left( \frac{1}{2^x + 1} - \frac{2^{2x}}{2^x + 1} \right)

Faktorizujemo brojioce kako bismo skratili razlomke:

2x(2x−1)2x−1+(1−2x)(1+2x)2x+1\frac{2^x(2^x - 1)}{2^x - 1} + \frac{(1 - 2^x)(1 + 2^x)}{2^x + 1}

Nakon skraćivanja dobijamo konačan jednostavan izraz:

2x+(1−2x)=12^x + (1 - 2^x) = 1

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti