116

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Označimo $f(x)=x^2-x+1 ,$ $x>\frac12 ,$ i $g(x)=\frac12+\sqrt{x-\frac34} ,$ $x>\frac34 .$ Prema definiciji, treba pokazati da $f$ slika $\left(\frac12,+\infty\right)$ na $\left(\frac34,+\infty\right) ,$ da $g$ slika obrnuto, i da je $g(f(x))=x$ i $f(g(x))=x .$

Za $x>\frac12$ je $x-\frac12>0 ,$ pa je $\left(x-\frac12\right)^2>0$ i $f(x)>\frac34 .$ Dakle, vrednosti funkcije $f$ su u oblasti definisanosti funkcije $g .$ Isto tako, za $x>\frac34$ je $\sqrt{x-\frac34}>0 ,$ pa je $g(x)>\frac12 :$ vrednosti funkcije $g$ su u oblasti definisanosti funkcije $f .$

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Provera na broju: $f(2)=4-2+1=3 ,$ a $g(3)=\frac12+\sqrt{3-\frac34}=\frac12+\sqrt{\frac94}=\frac12+\frac32=2 .$ Vratili smo se na $2 .$

Pošto je $g(f(x))=x$ za svako $x>\frac12$ i $f(g(x))=x$ za svako $x>\frac34 ,$ funkcije su međusobno inverzne: $g=f^{-1}$ i $f=g^{-1} .$ (Iz ovih jednakosti sledi i da je $f$ bijekcija: iz $f(x_1)=f(x_2)$ primenom $g$ dobijamo $x_1=x_2 ,$ a svaki $y>\frac34$ je vrednost $f(g(y))=y .$)

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$