5180. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Funkcija $f$ je definisana za svako realno $x .$ Rešavamo jednačinu $\frac{e^x-e^{-x}}{2}=y$ za proizvoljno realno $y .$ Uvodimo smenu $u=e^x$ ; tada je $u>0$ i $e^{-x}=\frac{1}{e^x}=\frac1u :$

\frac{u-\frac1u}{2}=y \implies u-\frac1u=2y

Množimo obe strane sa $u$ (pozitivan broj) i dobijamo kvadratnu jednačinu po $u :$

u^2-2yu-1=0

Rešavamo je po formuli $u_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,$ gde je $a=1 ,$ $b=-2y ,$ $c=-1 .$ Diskriminanta je $4y^2+4>0 ,$ pa:

u_{1,2}=\frac{2y\pm\sqrt{4y^2+4}}{2}=y\pm\sqrt{y^2+1}

Nama treba pozitivno rešenje, jer je $u=e^x>0 .$ Po Vijetovim formulama proizvod rešenja je $u_1u_2=\frac ca=-1<0 ,$ pa je jedno rešenje pozitivno, a drugo negativno. Pozitivno je veće rešenje, tj. ono sa znakom plus:

e^x=y+\sqrt{y^2+1} \implies x=\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)

Za svako realno $y$ jednačina $f(x)=y$ ima tačno jedno rešenje, pa je $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ bijekcija i ima inverznu funkciju. Provera: za $x=\ln2$ je $f(\ln2)=\frac{2-\frac12}{2}=\frac34 ,$ a formula daje $\ln\left(\frac34+\sqrt{\frac{9}{16}+1}\right)=\ln\left(\frac34+\frac54\right)=\ln2 .$ Slaže se.

Rešenje: $f^{-1}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) ,$ $x\in\mathbb{R} .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$

Započni učenje

Online časovi

117.a

Beleške