115.v

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Da bi funkcija imala inverznu, mora biti „1-1”, tj. različiti brojevi moraju imati različite vrednosti. Ako nađemo dva različita broja $x_1\neq x_2$ sa istom vrednošću $f(x_1)=f(x_2) ,$ inverzna funkcija ne može postojati: ona bi tu zajedničku vrednost trebalo da vrati i u $x_1$ i u $x_2 ,$ a funkcija jednom broju dodeljuje samo jednu vrednost.

Izraz $e^{\cos x}$ je uvek pozitivan, pa je imenilac $2+e^{\cos x}$ uvek veći od $2 ,$ dakle nikad nula. Funkcija je definisana za svako realno $x .$

Takođe je $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{e^0-1}{2+e^0}=0 .$ Dva različita broja daju istu vrednost, pa funkcija nije „1-1”.

Rešenje: ne, funkcija nema inverznu funkciju (na skupu $\mathbb{R}$), jer nije „1-1”.