112.g

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ bijektivna funkcija (tj. „1-1” i „na”), inverzna funkcija $f^{-1}:B\to A$ je funkcija za koju važi $f^{-1}(f(x))=x$ za svako $x\in A$ i $f(f^{-1}(y))=y$ za svako $y\in B .$ Funkcija je „1-1” ako različiti brojevi uvek imaju različite vrednosti, tj. iz $f(x_1)=f(x_2)$ sledi $x_1=x_2 .$ Funkcija je „na” skup $B$ ako je svaki broj $y\in B$ vrednost funkcije za neko $x\in A .$ Jednostavno rečeno: inverzna funkcija „poništava” ono što uradi $f$ — ako $f$ broj $x$ pošalje u $y ,$ onda $f^{-1}$ broj $y$ vraća nazad u $x .$

Kako to radimo u praksi: uzmemo proizvoljan broj $y$ i rešimo jednačinu $f(x)=y$ po nepoznatoj $x .$ Ako za svako $y\in B$ ta jednačina ima tačno jedno rešenje $x\in A ,$ funkcija je bijekcija (svaki $y$ je pogođen, pa je funkcija „na”, i to tačno jednom, pa je „1-1”), a dobijeno rešenje je upravo $f^{-1}(y) .$ Na kraju slovo $y$ preimenujemo u $x ,$ jer se argument funkcije uobičajeno označava sa $x .$

Na celom skupu $\mathbb{R}$ funkcija $x^4$ ne bi imala inverznu, jer npr. $(-2)^4=2^4=16$ (dva različita broja, ista vrednost). Zato je u zadatku uzeto samo $x<0 .$ Za negativne brojeve važi: što je broj manji, to je dalje od nule i četvrti stepen je veći (npr. $(-1)^4=1 ,$ $(-2)^4=16 ,$ $(-3)^4=81$). Funkcija je strogo opadajuća, pa je „1-1”. Vrednosti su pozitivne, pa posmatramo $f:(-\infty,0)\to(0,+\infty) .$

Za svako $y>0$ postoji tačno jedno negativno rešenje, pa je funkcija bijekcija. Provera: $f(-2)=16 ,$ a $-\sqrt[4]{16}=-2 .$

Rešenje: $f^{-1}(x)=-\sqrt[4]{x} ,$ $x>0 .$

Grafici uzajamno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x :$ ako tačka $(a,b)$ leži na grafiku funkcije $f ,$ onda tačka $(b,a)$ leži na grafiku funkcije $f^{-1} .$ Na slici su zato nacrtane funkcija $f ,$ njena inverzna funkcija $f^{-1}$ i prava $y=x .$