3153. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati da za sve skupove $A, B, C, D$ važi: $A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost skupova, pokazaćemo da su logički ekvivalentni polazeći od proizvoljnog elementa $x$ koji pripada levoj strani jednakosti.

x \in A \cap (B \setminus C)

Primenjujemo definiciju preseka skupova. Element pripada preseku ako pripada i jednom i drugom skupu.

x \in A \land x \in (B \setminus C)

Zatim primenjujemo definiciju razlike skupova. Element pripada razlici $B \setminus C$ ako pripada skupu $B ,$ ali ne pripada skupu $C .$

x \in A \land (x \in B \land x \notin C)

Koristimo svojstvo asocijativnosti za logičku konjunkciju (operacija I) da bismo pregrupisali iskaze.

(x \in A \land x \in B) \land x \notin C

Primenjujemo definiciju preseka unazad na izraz u zagradi.

x \in (A \cap B) \land x \notin C

Na kraju, primenjujemo definiciju razlike skupova na dobijeni iskaz.

x \in (A \cap B) \setminus C

Kako su svi koraci logičke ekvivalencije ( $\iff$ ), dokazali smo da svaki element koji pripada prvom skupu pripada i drugom, i obrnuto. Time je jednakost dokazana.

A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C

52.b