3111.

42

TEKST ZADATKA

Navesti sve elemente skupova A={x∣x∈N∧1≤x<7}, A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \land 1 \le x < 7\} , B={x∣x∈Z∧−5<3x−1≤2} B = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \land -5 < 3x - 1 \le 2\} i C={x∣x∈Z∧2∣x∣+5≤9}, C = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \land 2|x| + 5 \le 9\} , a zatim skupova A∩B, A \cap B , B∖C, B \setminus C , B∪C, B \cup C , (B∩C)∪(A∖C). (B \cap C) \cup (A \setminus C) .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente skupa A. A . Skup A A čine prirodni brojevi koji su veći ili jednaki 1, a strogo manji od 7.

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Određujemo elemente skupa B. B . Rešavamo sistem nejednačina za x∈Z. x \in \mathbb{Z} .

−5<3x−1≤2  ⟹  −4<3x≤3  ⟹  −43<x≤1-5 < 3x - 1 \le 2 \implies -4 < 3x \le 3 \implies -\frac{4}{3} < x \le 1

Pošto je x x ceo broj, biramo cele brojeve iz dobijenog intervala (−43,1]. (-\frac{4}{3}, 1] .

B={−1,0,1}B = \{-1, 0, 1\}

Određujemo elemente skupa C. C . Pre rešavanja nejednačine, definišemo apsolutnu vrednost.

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Rešavamo nejednačinu za skup C. C .

2∣x∣+5≤9  ⟹  2∣x∣≤4  ⟹  ∣x∣≤2  ⟹  −2≤x≤22|x| + 5 \le 9 \implies 2|x| \le 4 \implies |x| \le 2 \implies -2 \le x \le 2

Pošto je x x ceo broj, biramo cele brojeve iz dobijenog intervala [−2,2]. [-2, 2] .

C={−2,−1,0,1,2}C = \{-2, -1, 0, 1, 2\}

Računamo presek skupova A A i B. B . Presek čine elementi koji se nalaze u oba skupa.

A∩B={1,2,3,4,5,6}∩{−1,0,1}={1}A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{-1, 0, 1\} = \{1\}

Računamo razliku skupova B B i C. C . Razliku čine elementi koji su u skupu B, B , a nisu u skupu C. C .

B∖C={−1,0,1}∖{−2,−1,0,1,2}=∅B \setminus C = \{-1, 0, 1\} \setminus \{-2, -1, 0, 1, 2\} = \emptyset

Računamo uniju skupova B B i C. C . Uniju čine svi elementi koji se nalaze u barem jednom od ova dva skupa.

B∪C={−1,0,1}∪{−2,−1,0,1,2}={−2,−1,0,1,2}B \cup C = \{-1, 0, 1\} \cup \{-2, -1, 0, 1, 2\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}

Računamo izraz (B∩C)∪(A∖C). (B \cap C) \cup (A \setminus C) . Prvo određujemo presek skupova B B i C. C .

B∩C={−1,0,1}∩{−2,−1,0,1,2}={−1,0,1}B \cap C = \{-1, 0, 1\} \cap \{-2, -1, 0, 1, 2\} = \{-1, 0, 1\}

Zatim određujemo razliku skupova A A i C. C .

A∖C={1,2,3,4,5,6}∖{−2,−1,0,1,2}={3,4,5,6}A \setminus C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{-2, -1, 0, 1, 2\} = \{3, 4, 5, 6\}

Konačno, računamo uniju dobijenih skupova.

(B∩C)∪(A∖C)={−1,0,1}∪{3,4,5,6}={−1,0,1,3,4,5,6}(B \cap C) \cup (A \setminus C) = \{-1, 0, 1\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6\}