3109. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dati su skupovi: $A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \land 1 < x \le 6\} ,$ $B = \{x \mid x \in \mathbb{N} \land 1 < \frac{x-3}{2} < 5\} ,$ $C = \{x \mid x \in \mathbb{Z} \land |x| = 6\} .$ Prikazati skupove Venovim dijagramom i odrediti $(A \setminus B) \cap C ,$ $C \times B ,$ $P(C) .$

REŠENJE ZADATKA

Određujemo elemente skupa $A .$ To su prirodni brojevi veći od 1, a manji ili jednaki 6.

A = \{2, 3, 4, 5, 6\}

Određujemo elemente skupa $B .$ Rešavamo dvojnu nejednačinu:

1 < \frac{x-3}{2} < 5

Množimo nejednačinu sa 2:

2 < x - 3 < 10

Dodajemo 3 svim stranama nejednačine:

5 < x < 13

Pošto je $x \in \mathbb{N} ,$ elementi skupa $B$ su:

B = \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}

Određujemo elemente skupa $C .$ Prvo definišemo apsolutnu vrednost:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Rešavamo jednačinu $|x| = 6$ za cele brojeve ( $x \in \mathbb{Z}$ ):

x = 6 \lor x = -6

Zapisujemo elemente skupa $C :$

C = \{-6, 6\}

Računamo razliku skupova $A \setminus B ,$ što predstavlja elemente koji su u $A ,$ ali nisu u $B :$

A \setminus B = \{2, 3, 4, 5\}

Računamo presek dobijenog skupa i skupa $C :$

(A \setminus B) \cap C = \emptyset

Računamo Dekartov proizvod $C \times B :$

C \times B = \{(-6, 6), (-6, 7), (-6, 8), (-6, 9), (-6, 10), (-6, 11), (-6, 12), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12)\}

Određujemo partitivni skup skupa $C ,$ koji sadrži sve njegove podskupove:

P(C) = \{\emptyset, \{-6\}, \{6\}, \{-6, 6\}\}

39