Relacija ekvivalentnih jednačina i njene klase

Dve jednačine su ekvivalentne ako i samo ako imaju isti skup rešenja. Neka je $S(j)$ skup rešenja jednačine $j .$ Tada relaciju možemo zapisati preko jednakosti skupova rešenja:

j_1 \sim j_2 \Leftrightarrow S(j_1) = S(j_2)

Da bi relacija bila relacija ekvivalencije, mora biti refleksivna, simetrična i tranzitivna. Prvo proveravamo refleksivnost. Za svaku jednačinu $j$ važi da ima isti skup rešenja kao ona sama, odnosno $S(j) = S(j) .$

j \sim j

Proveravamo simetričnost. Ako su jednačine $j_1$ i $j_2$ ekvivalentne, onda je $S(j_1) = S(j_2) .$ Iz jednakosti skupova direktno sledi $S(j_2) = S(j_1) .$

j_1 \sim j_2 \Rightarrow j_2 \sim j_1

Proveravamo tranzitivnost. Ako je $j_1 \sim j_2$ i $j_2 \sim j_3 ,$ tada je $S(j_1) = S(j_2)$ i $S(j_2) = S(j_3) .$ Iz ovoga sledi da je $S(j_1) = S(j_3) .$

(j_1 \sim j_2 \land j_2 \sim j_3) \Rightarrow j_1 \sim j_3

Pošto je relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna, zaključujemo da je $\sim$ zaista relacija ekvivalencije.

Da bismo odredili klase ekvivalencije, rešavamo svaku od jednačina iz skupa $J$ i određujemo njihove skupove rešenja.

\begin{aligned} j_1&: x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow S(j_1) = \{-2\} \\ j_2&: x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \Rightarrow S(j_2) = \{-1\} \\ j_3&: 2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow S(j_3) = \{-2\} \\ j_4&: \frac{x}{2} = \frac{-1}{2} \Rightarrow x = -1 \Rightarrow S(j_4) = \{-1\} \\ j_5&: x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \Rightarrow S(j_5) = \{-2, 2\} \\ j_6&: 2x + 2 = -2 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow S(j_6) = \{-2\} \end{aligned}

Sada grupišemo jednačine koje imaju iste skupove rešenja u klase ekvivalencije.

\begin{aligned} C_1 &= \{ j \in J \mid S(j) = \{-2\} \} = \{ j_1, j_3, j_6 \} \\ C_2 &= \{ j \in J \mid S(j) = \{-1\} \} = \{ j_2, j_4 \} \\ C_3 &= \{ j \in J \mid S(j) = \{-2, 2\} \} = \{ j_5 \} \end{aligned}

Započni učenje

Online časovi

76

Beleške