3209.

76

TEKST ZADATKA

U skupu jednačina J={x+2=0,x+1=0,2x+4=0,x2=−12,x2=4,2x+2=−2} J = \left\{ x + 2 = 0, x + 1 = 0, 2x + 4 = 0, \frac{x}{2} = \frac{-1}{2}, x^2 = 4, 2x + 2 = -2 \right\} uvedena je relacija j1∼j2⇔ j_1 \sim j_2 \Leftrightarrow jednačine j1 j_1 i j2 j_2 su ekvivalentne. Dokazati da je ∼ \sim relacija ekvivalencije i odrediti klase.

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako i samo ako imaju isti skup rešenja. Neka je S(j) S(j) skup rešenja jednačine j. j . Tada relaciju možemo zapisati preko jednakosti skupova rešenja:

j1∼j2⇔S(j1)=S(j2)j_1 \sim j_2 \Leftrightarrow S(j_1) = S(j_2)

Da bi relacija bila relacija ekvivalencije, mora biti refleksivna, simetrična i tranzitivna. Prvo proveravamo refleksivnost. Za svaku jednačinu j j važi da ima isti skup rešenja kao ona sama, odnosno S(j)=S(j). S(j) = S(j) .

j∼jj \sim j

Proveravamo simetričnost. Ako su jednačine j1 j_1 i j2 j_2 ekvivalentne, onda je S(j1)=S(j2). S(j_1) = S(j_2) . Iz jednakosti skupova direktno sledi S(j2)=S(j1). S(j_2) = S(j_1) .

j1∼j2⇒j2∼j1j_1 \sim j_2 \Rightarrow j_2 \sim j_1

Proveravamo tranzitivnost. Ako je j1∼j2 j_1 \sim j_2 i j2∼j3, j_2 \sim j_3 , tada je S(j1)=S(j2) S(j_1) = S(j_2) i S(j2)=S(j3). S(j_2) = S(j_3) . Iz ovoga sledi da je S(j1)=S(j3). S(j_1) = S(j_3) .

(j1∼j2∧j2∼j3)⇒j1∼j3(j_1 \sim j_2 \land j_2 \sim j_3) \Rightarrow j_1 \sim j_3

Pošto je relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna, zaključujemo da je ∼ \sim zaista relacija ekvivalencije.

Da bismo odredili klase ekvivalencije, rešavamo svaku od jednačina iz skupa J J i određujemo njihove skupove rešenja.

j1:x+2=0⇒x=−2⇒S(j1)={−2}j2:x+1=0⇒x=−1⇒S(j2)={−1}j3:2x+4=0⇒2x=−4⇒x=−2⇒S(j3)={−2}j4:x2=−12⇒x=−1⇒S(j4)={−1}j5:x2=4⇒x=±2⇒S(j5)={−2,2}j6:2x+2=−2⇒2x=−4⇒x=−2⇒S(j6)={−2}\begin{aligned} j_1&: x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow S(j_1) = \{-2\} \\ j_2&: x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \Rightarrow S(j_2) = \{-1\} \\ j_3&: 2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow S(j_3) = \{-2\} \\ j_4&: \frac{x}{2} = \frac{-1}{2} \Rightarrow x = -1 \Rightarrow S(j_4) = \{-1\} \\ j_5&: x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \Rightarrow S(j_5) = \{-2, 2\} \\ j_6&: 2x + 2 = -2 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow S(j_6) = \{-2\} \end{aligned}

Sada grupišemo jednačine koje imaju iste skupove rešenja u klase ekvivalencije.

C1={j∈J∣S(j)={−2}}={j1,j3,j6}C2={j∈J∣S(j)={−1}}={j2,j4}C3={j∈J∣S(j)={−2,2}}={j5}\begin{aligned} C_1 &= \{ j \in J \mid S(j) = \{-2\} \} = \{ j_1, j_3, j_6 \} \\ C_2 &= \{ j \in J \mid S(j) = \{-1\} \} = \{ j_2, j_4 \} \\ C_3 &= \{ j \in J \mid S(j) = \{-2, 2\} \} = \{ j_5 \} \end{aligned}