1544. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

REŠENJE ZADATKA

Jednačina je definisana pod uslovima da su imenioci različiti od nule:

x \neq -2b, \quad x \neq 2b, \quad a \neq 0

Svodićemo levu stranu jednačine na zajednički imenilac $(x+2b)(x-2b) = x^2-4b^2 :$

\frac{(a + 4b)(x - 2b) - (a - 4b)(x + 2b)}{x^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a}

Računamo izraz u brojiocu leve strane množenjem binoma:

(ax - 2ab + 4bx - 8b^2) - (ax + 2ab - 4bx - 8b^2)

Nakon oslobađanja od zagrada i grupisanja sličnih monoma dobijamo:

ax - 2ab + 4bx - 8b^2 - ax - 2ab + 4bx + 8b^2 = 8bx - 4ab = 4b(2x - a)

Zamenjujemo sređeni brojilac nazad u jednačinu:

\frac{4b(2x - a)}{x^2 - 4b^2} = \frac{4b}{a}

Razlikujemo dva slučaja u zavisnosti od vrednosti parametra $b .$ Prvi slučaj je $b = 0 .$ Tada jednačina postaje:

0 = 0

Za $b = 0 ,$ uslov definisanosti je $x \neq 0$ (pošto je $\pm 2b = 0$ ). Nema drugih ograničenja, pa je rešenje svaki realan broj osim nule:

x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}

Drugi slučaj je $b \neq 0 .$ Tada možemo podeliti obe strane jednačine sa $4b :$

\frac{2x - a}{x^2 - 4b^2} = \frac{1}{a}

Množenjem unakrsno (jer je $a \neq 0$ i $x^2 - 4b^2 \neq 0$ ) dobijamo:

a(2x - a) = x^2 - 4b^2

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu po promenljivoj $x :$

2ax - a^2 = x^2 - 4b^2 \implies x^2 - 2ax + a^2 - 4b^2 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule za rešenja:

x = \frac{-(-2a) \pm \sqrt{(-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4b^2)}}{2 \cdot 1}

Računamo diskriminantu jednačine ispod korena:

D = 4a^2 - 4(a^2 - 4b^2) = 4a^2 - 4a^2 + 16b^2 = 16b^2

Zamenjujemo diskriminantu nazad u formulu. Zbog znaka $\pm$ ispred korena, rešenja ostaju ista bez obzira na znak parametra $b :$

x = \frac{2a \pm \sqrt{16b^2}}{2} = \frac{2a \pm 4b}{2} = a \pm 2b

Dobijamo dva potencijalna rešenja:

x_1 = a + 2b, \quad x_2 = a - 2b

Proveravamo uslove definisanosti za dobijena rešenja. Prvo rešenje $x_1 = a + 2b$ ne sme biti jednako $2b$ niti $-2b :$

a + 2b \neq 2b \implies a \neq 0 \quad \text{i} \quad a + 2b \neq -2b \implies a \neq -4b

Pošto je po uslovu zadatka $a \neq 0$ (imenilac na desnoj strani), prvo ograničenje je uvek ispunjeno. Dakle, $x_1$ je rešenje samo ako je $a \neq -4b .$

Proveravamo uslove definisanosti za drugo rešenje $x_2 = a - 2b :$

a - 2b \neq -2b \implies a \neq 0 \quad \text{i} \quad a - 2b \neq 2b \implies a \neq 4b

Slično, zbog $a \neq 0$ prvo ograničenje je ispunjeno, pa je $x_2$ rešenje samo ako je $a \neq 4b .$

Zapisujemo konačnu diskusiju skupa rešenja $S$ u zavisnosti od parametara $a$ i $b$ (uz uslov $a \neq 0$ ):

S = \begin{cases} \mathbb{R} \setminus \{0\}, & b = 0 \\ \{6b\}, & a = 4b \\ \{-6b\}, & a = -4b \\ \{a - 2b, a + 2b\}, & a \neq \pm 4b \land b \neq 0 \end{cases}

200.a