6225. Primena određenih integrala

Kriva postoji za $x\le0 ,$ gde je $y=-(-x)^{\frac32}\le0$ ; za $x=-4$ je $y=-8 .$ Za dato $y\in[-8,0]$ kriva je u $x=-(-y)^{\frac23} ,$ a figura ide od $x=-4$ do krive.

Obrtanjem nastaje telo sa šupljinom: spoljni poluprečnik je $4 ,$ a unutrašnji $(-y)^{\frac23} .$ Pri rotaciji oko ose $Oy$ uloge promenljivih se zamenjuju: ako je figura između ose $Oy$ i krive $x=g(y) ,$ $c\le y\le d ,$ onda je $V=\pi\int_c^dg^2(y)\,dy .$ Za telo sa šupljinom oduzimamo:

V=\pi\int_{-8}^0\left(16-(-y)^{\frac43}\right)dy

Smenom $s=-y$ granice postaju $0$ i $8 :$

V=\pi\int_0^8\left(16-s^{\frac43}\right)ds=\pi\left(128-\frac37\cdot128\right)=\frac{512\pi}7

Tražena vrednost je $V=\frac{512\pi}{7} .$

Započni učenje

Privatni časovi

363.v

Beleške