6224. Primena određenih integrala

Neka je najpre $a>0 .$ Kao u 359.v, krive se seku u $x=0$ i $x=a ,$ a figura je između prave $y=a-x$ i parabole, za $0\le y\le a .$ Iz prave je $x=a-y ,$ a iz parabole $x^2=a(a-y) ,$ tj. $x=\sqrt{a(a-y)}$ (dalje od ose).

Pri rotaciji oko ose $Oy$ uloge promenljivih se zamenjuju: ako je figura između ose $Oy$ i krive $x=g(y) ,$ $c\le y\le d ,$ onda je $V=\pi\int_c^dg^2(y)\,dy .$ Telo ima šupljinu, pa oduzimamo:

V=\pi\int_0^a\left(a(a-y)-(a-y)^2\right)dy

Smenom $s=a-y$ granice postaju $a$ i $0 :$

V=\pi\int_0^a\left(as-s^2\right)ds=\pi\left(\frac{a^3}2-\frac{a^3}3\right)=\frac{\pi a^3}6

Za $a<0$ zamena $x\to-x ,$ $y\to-y ,$ $a\to-a$ prevodi figuru u ovakvu figuru sa $|a| ,$ a zapremina pri rotaciji oko $Oy$ se ne menja. Zato je u opštem slučaju $V=\frac{\pi|a|^3}{6} .$

Započni učenje

Privatni časovi

363.g

Beleške