6221. Primena određenih integrala

Elipsa je za $|y|\le|b|$ široka od $x=-|a|\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}$ do $x=|a|\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}$ ; obe polovine daju isto telo (elipsoid). Pri rotaciji oko ose $Oy$ uloge promenljivih se zamenjuju: ako je figura između ose $Oy$ i krive $x=g(y) ,$ $c\le y\le d ,$ onda je $V=\pi\int_c^dg^2(y)\,dy .$

V=\pi\int_{-|b|}^{|b|}a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)dy=2\pi a^2\left.\left(y-\frac{y^3}{3b^2}\right)\right|_0^{|b|}

Računamo:

V=2\pi a^2\left(|b|-\frac{|b|}3\right)=\frac{4\pi a^2|b|}3

Za $a=b=r$ dobijamo zapreminu lopte $\frac43\pi r^3 ,$ što potvrđuje rezultat. Zaključujemo da je $V=\frac43\pi a^2|b| .$

Započni učenje

Privatni časovi

363.d

Beleške