6219. Primena određenih integrala

Figura je između grana hiperbole i pravih $y=\pm b$ ; za dato $y$ ide od $x=-|a|\sqrt{1+\frac{y^2}{b^2}}$ do $x=|a|\sqrt{1+\frac{y^2}{b^2}} .$ Obrtanjem oko $Oy$ leva i desna polovina daju isto telo. Pri rotaciji oko ose $Oy$ uloge promenljivih se zamenjuju: ako je figura između ose $Oy$ i krive $x=g(y) ,$ $c\le y\le d ,$ onda je $V=\pi\int_c^dg^2(y)\,dy .$

V=\pi\int_{-|b|}^{|b|}a^2\left(1+\frac{y^2}{b^2}\right)dy

Funkcija je parna, pa računamo dvostruki integral od $0$ do $|b| :$

V=2\pi a^2\left.\left(y+\frac{y^3}{3b^2}\right)\right|_0^{|b|}=2\pi a^2\left(|b|+\frac{|b|}3\right)=\frac{8\pi a^2|b|}{3}

Rezultat je $V=\frac83\pi a^2|b| .$

Započni učenje

Privatni časovi

363.a

Beleške