6218. Primena određenih integrala

Kriva postoji za $x\ge0$ ; $y=\pm\frac13\sqrt x\,(3-x) ,$ a $y=0$ za $x=0$ i $x=3 .$ Petlja je deo krive za $0\le x\le3 .$ Zapremina obrtnog tela: kada figura ispod grafika neprekidne pozitivne funkcije $f ,$ $a\le x\le b ,$ rotira oko ose $Ox ,$ nastaje telo zapremine $V=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx .$ Pošto je $y^2=\frac{x(3-x)^2}{9} :$

V=\pi\int_0^3\frac{x(3-x)^2}{9}\,dx=\frac\pi9\int_0^3\left(9x-6x^2+x^3\right)dx

Računamo:

V=\frac\pi9\left.\left(\frac{9x^2}2-2x^3+\frac{x^4}4\right)\right|_0^3=\frac\pi9\left(\frac{81}2-54+\frac{81}4\right)=\frac\pi9\cdot\frac{27}4=\frac{3\pi}4

Prema tome, $V=\frac{3\pi}{4} .$

Započni učenje

Privatni časovi

362

Beleške