6212. Primena određenih integrala

Kriva je $y=\frac12(x-2)^2 ,$ a izvod $y'=x-2 .$ U $A :$ $y'(1)=-1 ,$ tangenta $y=\frac12-(x-1)$ ; u $B :$ $y'(4)=2 ,$ tangenta $y=2+2(x-4) :$

t_A:\ y=-x+\frac32,\qquad t_B:\ y=2x-6

Tangente se seku kada je $-x+\frac32=2x-6 ,$ tj. u $x=\frac52 .$ Parabola je iznad svojih tangenti; razlike su $\frac12(x-2)^2-\left(-x+\frac32\right)=\frac12(x-1)^2$ i $\frac12(x-2)^2-(2x-6)=\frac12(x-4)^2 .$ Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_1^{5/2}\frac12(x-1)^2\,dx+\int_{5/2}^4\frac12(x-4)^2\,dx

Računamo:

P=\left.\frac{(x-1)^3}6\right|_1^{5/2}+\left.\frac{(x-4)^3}6\right|_{5/2}^4=\frac{27}{48}+\frac{27}{48}=\frac98

Prema tome, $P=\frac98 .$

Započni učenje

Privatni časovi

361.a

Beleške