6211. Primena određenih integrala

Kriva postoji za $|x|\le4$ i čine je grafici $y=\frac{x^2}4+\sqrt{16-x^2}$ (gore) i $y=\frac{x^2}4-\sqrt{16-x^2}$ (dole). Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_{-4}^4\left(\frac{x^2}4+\sqrt{16-x^2}-\frac{x^2}4+\sqrt{16-x^2}\right)dx=2\int_{-4}^4\sqrt{16-x^2}\,dx

Integral $\int_{-4}^4\sqrt{16-x^2}\,dx$ je površina polukruga poluprečnika $4$ (primitivna funkcija $\frac x2\sqrt{16-x^2}+8\arcsin\frac x4 ,$ kao u 336.b): $8\cdot\frac\pi2-8\cdot\left(-\frac\pi2\right)=8\pi :$

P=2\cdot8\pi=16\pi

Figura ima istu površinu kao krug poluprečnika $4 :$ krivu dobijamo iz kružnice $x^2+y^2=16$ pomeranjem svake tačke naviše za $\frac{x^2}4 ,$ a to ne menja dužine vertikalnih preseka. Konačno, $P=16\pi .$

Započni učenje

Privatni časovi

360.v

Beleške