6208. Primena određenih integrala

Prava je $y=a-x .$ Presek: $a-\frac{x^2}a=a-x ,$ tj. $x^2=ax ,$ pa je $x=0$ ili $x=a .$ Za $0<x<a$ je $\frac{x^2}a<x ,$ pa je parabola iznad prave, a obe su nenegativne. Ako figura leži između krivih $y=f(x)$ (spolja) i $y=g(x)$ (bliže osi), telo je razlika dva obrtna tela: $V=\pi\int_a^b\left(f^2(x)-g^2(x)\right)dx .$

V=\pi\int_0^a\left(\left(a-\frac{x^2}a\right)^2-(a-x)^2\right)dx

Razvijamo kvadrate: $\left(a-\frac{x^2}a\right)^2-(a-x)^2=\left(a^2-2x^2+\frac{x^4}{a^2}\right)-\left(a^2-2ax+x^2\right)=2ax-3x^2+\frac{x^4}{a^2} :$

V=\pi\left.\left(ax^2-x^3+\frac{x^5}{5a^2}\right)\right|_0^a=\pi\left(a^3-a^3+\frac{a^3}5\right)=\frac{\pi a^3}5

Dakle, $V=\frac{\pi a^3}{5} .$

Započni učenje

Privatni časovi

359.v

Beleške