6207. Primena određenih integrala

Figura je beskonačno duga, pa najpre računamo zapreminu dela za $0\le x\le a ,$ a zatim puštamo $a\to+\infty$ (kao u zadatku 353). Zapremina obrtnog tela: kada figura ispod grafika neprekidne pozitivne funkcije $f ,$ $a\le x\le b ,$ rotira oko ose $Ox ,$ nastaje telo zapremine $V=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx .$

V(a)=\pi\int_0^ae^{-2x}\,dx=\pi\left.\left(-\frac{e^{-2x}}2\right)\right|_0^a=\frac\pi2\left(1-e^{-2a}\right)

Kada $a\to+\infty ,$ $e^{-2a}\to0$ (npr. za $a=5$ je $e^{-10}\approx0{,}0000454$ ):

V=\lim_{a\to+\infty}\frac\pi2\left(1-e^{-2a}\right)=\frac\pi2

Rezultat je $V=\frac\pi2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

359.b

Beleške