6204. Primena određenih integrala

Tačka $P$ je na gornjoj grani $y=\sqrt{2(x-1)} .$ Diferenciranjem $y^2=2(x-1)$ dobijamo $2yy'=2 ,$ pa je $y'=\frac1y=\frac12$ u $P .$ Tangenta: $y-2=\frac12(x-3) :$

y=\frac{x+1}{2}

Tangenta seče osu $Ox$ u $x=-1 ,$ a parabola počinje u $x=1 .$ Figura je ispod tangente i iznad ose za $-1\le x\le3 ,$ bez dela ispod parabole za $1\le x\le3 .$ Zapremina obrtnog tela: kada figura ispod grafika neprekidne pozitivne funkcije $f ,$ $a\le x\le b ,$ rotira oko ose $Ox ,$ nastaje telo zapremine $V=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx .$ Telo je razlika dva obrtna tela:

V=\pi\int_{-1}^3\frac{(x+1)^2}4\,dx-\pi\int_1^32(x-1)\,dx

Računamo:

V=\pi\left.\frac{(x+1)^3}{12}\right|_{-1}^3-\pi\left.(x-1)^2\right|_1^3=\frac{64\pi}{12}-4\pi=\frac{4\pi}3

Zaključujemo da je $V=\frac{4\pi}{3} .$

Započni učenje

Privatni časovi

357

Beleške