6195. Primena određenih integrala

Apsolutne vrednosti zapisujemo po definiciji:

|3-x|=\begin{cases}3-x, & x\le3\\ x-3, & x>3\end{cases}\qquad |x+1|=\begin{cases}x+1, & x\ge-1\\ -(x+1), & x<-1\end{cases}

Prva funkcija je $y=x$ za $x\le3$ i $y=6-x$ za $x>3$ ; pozitivna je za $0<x<6 ,$ gde je druga $y=\frac6{x+1} .$ Presek: $x=\frac6{x+1}\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow x=2$ ; $6-x=\frac6{x+1}\Rightarrow x(5-x)=0\Rightarrow x=5 .$

Između $2$ i $5$ krov je gore (npr. za $x=3 :$ $3>1{,}5$ ). Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_2^3\left(x-\frac6{x+1}\right)dx+\int_3^5\left(6-x-\frac6{x+1}\right)dx

Računamo:

P=\left.\left(\frac{x^2}2-6\ln(x+1)\right)\right|_2^3+\left.\left(6x-\frac{x^2}2-6\ln(x+1)\right)\right|_3^5=\left(\frac52-6\ln\frac43\right)+\left(4-6\ln\frac64\right)

Sabiramo; $\ln\frac43+\ln\frac32=\ln2 :$

P=\frac{13}2-6\ln2

Zaključujemo da je $P=\frac{13}{2}-6\ln2\approx2{,}341 .$

Započni učenje

Privatni časovi

355.p

Beleške