6194. Primena određenih integrala

Apsolutne vrednosti zapisujemo po definiciji:

|2-x|=\begin{cases}2-x, & x\le2\\ x-2, & x>2\end{cases}\qquad |x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}

Prva funkcija je $y=x$ za $x\le2$ i $y=4-x$ za $x>2$ („krov” sa vrhom $(2,2)$ ), a pozitivna je samo za $0<x<4$ ; tu je druga $y=\frac3x .$ Presek: $x=\frac3x\Rightarrow x=\sqrt3$ ; $4-x=\frac3x\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=3$ (rešenje $x=1$ nije u $x>2$ ).

Između $\sqrt3$ i $3$ krov je iznad hiperbole (npr. za $x=2 :$ $2>1{,}5$ ). Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_{\sqrt3}^2\left(x-\frac3x\right)dx+\int_2^3\left(4-x-\frac3x\right)dx

Računamo:

P=\left.\left(\frac{x^2}2-3\ln x\right)\right|_{\sqrt3}^2+\left.\left(4x-\frac{x^2}2-3\ln x\right)\right|_2^3=\left(\frac12-3\ln2+\frac32\ln3\right)+\left(\frac32-3\ln3+3\ln2\right)

Tražena vrednost je $P=2-\frac32\ln3\approx0{,}3521 .$

Započni učenje

Privatni časovi

355.o

Beleške