6193. Primena određenih integrala

Obe funkcije su parne, pa je figura simetrična u odnosu na osu $Oy$ ; računamo polovinu za $x\ge0 .$ Apsolutne vrednosti zapisujemo po definiciji:

|4-x^2|=\begin{cases}4-x^2, & |x|\le2\\ x^2-4, & |x|>2\end{cases}\qquad |x|=\begin{cases}x, & x\ge0\\ -x, & x<0\end{cases}

Za $x\ge0$ prava je $y=7-x .$ Presek za $x>2 :$ $\frac{x^2-4}4=7-x ,$ tj. $x^2+4x-32=(x+8)(x-4)=0 ,$ pa je $x=4 .$ Za $0\le x\le2 :$ $\frac{4-x^2}4=7-x$ daje $x^2-4x+24=0 ,$ bez rešenja (diskriminanta $-80$ ). Dakle, figura je za $-4\le x\le4 ,$ a prava je gore.

Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru). Zbog simetrije:

P=2\left(\int_0^4(7-x)\,dx-\int_0^2\frac{4-x^2}4\,dx-\int_2^4\frac{x^2-4}4\,dx\right)

Računamo: $\int_0^4(7-x)\,dx=28-8=20 ,$ $\int_0^2\frac{4-x^2}4\,dx=\frac14\left(8-\frac83\right)=\frac43 ,$ $\int_2^4\frac{x^2-4}4\,dx=\frac14\left(\frac{56}3-8\right)=\frac83 :$

P=2\left(20-\frac43-\frac83\right)=2\cdot16=32

Dakle, $P=32 .$

Započni učenje

Privatni časovi

355.nj

Beleške