6189. Primena određenih integrala

Izvod je $y'=\frac{x}{\sqrt{x^2-5}} ,$ pa je $y'(3)=\frac32 .$ Jednačina tangente $y-2=\frac32(x-3)$ daje:

y=\frac32x-\frac52

Tangenta seče $y=x$ kada je $x=\frac32x-\frac52 ,$ tj. u $(5,5) ,$ a $y=-x$ kada je $-x=\frac32x-\frac52 ,$ tj. u $(1,-1) .$ Prave $y=\pm x$ se seku u $(0,0) ,$ pa je figura trougao.

Gornja granica je $y=x$ ; donja je $y=-x$ za $0\le x\le1 ,$ a tangenta za $1\le x\le5 .$ Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_0^1\left(x+x\right)dx+\int_1^5\left(x-\frac32x+\frac52\right)dx=\left.x^2\right|_0^1+\left.\left(\frac{5x}2-\frac{x^2}4\right)\right|_1^5

Računamo: drugi član je $\left(\frac{25}2-\frac{25}4\right)-\left(\frac52-\frac14\right)=\frac{25}4-\frac94=4 :$

P=1+4=5

Provera preko formule za površinu trougla sa temenima $(0,0),(5,5),(1,-1) :$ $\frac12|5\cdot(-1)-5\cdot1|=5 ,$ što se slaže sa dobijenim rezultatom. Zaključujemo da je $P=5 .$

Započni učenje

Privatni časovi

355.l

Beleške