6177. Primena određenih integrala

Uzimamo $p>0$ (za $p<0$ figura je simetrična ovoj u odnosu na koordinatni početak i ima istu površinu). Figura je u prvom kvadrantu, gde su parabole grafici funkcija $y=\sqrt{2px}$ i $y=\frac{x^2}{2p} .$

Presek: iz $y=\frac{x^2}{2p}$ i $y^2=2px$ sledi $\frac{x^4}{4p^2}=2px ,$ tj. $x(x^3-8p^3)=0 :$

x_1=0,\qquad x_2=2p

Za $x=p$ je $\sqrt{2p\cdot p}=\sqrt2\,p>\frac{p}{2} ,$ pa je $y=\sqrt{2px}$ gore. Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_0^{2p}\left(\sqrt{2p}\,x^{\frac12}-\frac{x^2}{2p}\right)dx=\left.\left(\frac23\sqrt{2p}\,x^{\frac32}-\frac{x^3}{6p}\right)\right|_0^{2p}

Za $x=2p :$ $\sqrt{2p}\,(2p)^{\frac32}=(2p)^2=4p^2$ i $\frac{(2p)^3}{6p}=\frac{4p^2}3 :$

P=\frac23\cdot4p^2-\frac{4p^2}3=\frac{4p^2}{3}

Konačno, $P=\frac43p^2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

354.g

Beleške