6175. Primena određenih integrala

Gornja polovina kružnice je $y=\sqrt{8-x^2} ,$ a donja $y=-\sqrt{8-x^2} .$ Presek: iz $x^2=2y$ dobijamo $y^2+2y-8=(y+4)(y-2)=0$ ; pošto je $y=\frac{x^2}2\ge0 ,$ ostaje $y=2 ,$ a $x^2=4 :$

x_1=-2,\qquad x_2=2

Figura između parabole i luka kružnice nalazi se iznad parabole i ispod gornjeg luka. Ako je figura između krivih $y=f(x)$ (gore) i $y=g(x)$ (dole), $a\le x\le b ,$ njena površina je razlika površina ispod te dve krive: $P=\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)dx$ (formula važi i kada je donja kriva ispod ose $Ox ,$ jer pomeranje obe krive naviše za isti broj ne menja figuru).

P=\int_{-2}^2\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}2\right)dx

Kao u zadatku 336.b (isti postupak sa $8$ umesto $4$ ), primitivna funkcija od $\sqrt{8-x^2}$ je $\frac x2\sqrt{8-x^2}+4\arcsin\frac{x}{2\sqrt2}$ ; za $x=2$ to je $2+4\cdot\frac\pi4=2+\pi :$

\int_{-2}^2\sqrt{8-x^2}\,dx=(2+\pi)-(-2-\pi)=4+2\pi,\qquad\int_{-2}^2\frac{x^2}2\,dx=\frac83

Oduzimamo:

P=4+2\pi-\frac83=2\pi+\frac43

Preostali deo kruga (ispod parabole) ima površinu $8\pi-\left(2\pi+\frac43\right)=6\pi-\frac43 .$ Rezultat je $P=2\pi+\frac43\approx7{,}617 .$

Započni učenje

Privatni časovi

354.đ

Beleške