3537. Približne vrednosti realnih brojeva

Prvo ćemo uprostiti dati izraz. Pošto je $x \neq 0 ,$ možemo skratiti $x$ u brojiocu i imeniocu.

\frac{3xy}{x(x - y)} = \frac{3y}{x - y}

Označimo približne vrednosti sa $x' = 8,5$ i $y' = 4,5 ,$ a njihove apsolutne greške sa $\Delta x = 0,3$ i $\Delta y = 0,1 .$ Računamo približnu vrednost izraza $E' .$

E' = \frac{3y'}{x' - y'} = \frac{3 \cdot 4,5}{8,5 - 4,5} = \frac{13,5}{4} = 3,375

Da bismo našli apsolutnu grešku celog izraza, podelićemo ga na brojilac i imenilac. Neka je brojilac $u = 3y ,$ a imenilac $v = x - y .$ Njihove približne vrednosti su $u'$ i $v' .$

\begin{aligned} u' &= 3 \cdot 4,5 = 13,5 \\ v' &= 8,5 - 4,5 = 4 \end{aligned}

Računamo apsolutnu grešku brojioca $u .$ Apsolutna greška proizvoda konstante i promenljive jednaka je proizvodu apsolutne vrednosti konstante i apsolutne greške promenljive. Definišemo apsolutnu vrednost konstante 3.

|3| = \begin{cases} 3, & \text{za } 3 \ge 0 \\ -3, & \text{za } 3 < 0 \end{cases}

Pošto je $3 \ge 0 ,$ važi $|3| = 3 .$ Računamo apsolutnu grešku brojioca.

\Delta u = 3 \cdot \Delta y = 3 \cdot 0,1 = 0,3

Računamo apsolutnu grešku imenioca $v .$ Apsolutna greška razlike jednaka je zbiru apsolutnih grešaka.

\Delta v = \Delta x + \Delta y = 0,3 + 0,1 = 0,4

Za računanje apsolutne greške količnika $E = \frac{u}{v}$ koristimo formulu $\Delta E = \frac{|u'|\Delta v + |v'|\Delta u}{(v')^2} .$ Prema pravilima, prvo definišemo apsolutnu vrednost za $u' .$

|u'| = \begin{cases} u', & \text{za } u' \ge 0 \\ -u', & \text{za } u' < 0 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost za $v' .$

|v'| = \begin{cases} v', & \text{za } v' \ge 0 \\ -v', & \text{za } v' < 0 \end{cases}

Pošto su $u' = 13,5 \ge 0$ i $v' = 4 \ge 0 ,$ zamenjujemo pozitivne vrednosti u formulu za grešku količnika.

\Delta E = \frac{13,5 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,3}{4^2}

Računamo vrednost izraza za apsolutnu grešku.

\Delta E = \frac{5,4 + 1,2}{16} = \frac{6,6}{16} = 0,4125

Prema standardnim pravilima, apsolutnu grešku zaokrugljujemo na jednu značajnu cifru. Broj $0,4125$ zaokrugljujemo na prvu decimalu ( $n = 1$ ). Pošto je druga decimala 1 (manja od 5), prva decimala ostaje nepromenjena.

\Delta E \approx 0,4

Približnu vrednost izraza zaokrugljujemo na isti broj decimala kao i grešku, odnosno na prvu decimalu. Broj $3,375$ ima drugu decimalu 7 (veća od 5), pa se prva decimala uvećava za jedan.

E' \approx 3,4

Konačan rezultat zapisujemo u obliku $E' \pm \Delta E$ sa zaokrugljenim vrednostima.

E = 3,4 \pm 0,4

232.v