Površina trapeza iz površina trouglova AOB i DOC

Trouglovi $ABC$ i $ABD$ imaju zajedničku osnovicu $AB .$ Pošto temena $C$ i $D$ leže na pravoj paralelnoj sa $AB ,$ njihove visine na osnovicu $AB$ su jednake, pa su im jednake i površine.

P_{ABC}=P_{ABD}

Oba trougla sadrže trougao $AOB .$ Kada njegovu površinu oduzmemo od obe jednake površine, dobijamo da su površine preostala dva trougla jednake. Označimo tu površinu sa $x .$

P_{BOC}=P_{AOD}=x

Neka je $\varphi$ ugao između dijagonala. Površine četiri trougla zapisujemo formulom $P=\frac12 ab\sin\varphi .$ Za uglove koji su suplementni sinus ima istu vrednost.

P_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO\sin\varphi,\quad P_{COD}=\frac12 CO\cdot DO\sin\varphi,\quad P_{AOD}=\frac12 AO\cdot DO\sin\varphi,\quad P_{BOC}=\frac12 BO\cdot CO\sin\varphi

Množenjem površina naspramnih trouglova pojavljuju se isti činioci. Zato je proizvod površina trouglova $AOB$ i $COD$ jednak proizvodu površina trouglova $AOD$ i $BOC .$

P_{AOB}P_{COD}=P_{AOD}P_{BOC} \implies p^2q^2=x^2 \implies x=pq

Površina trapeza je zbir površina četiri trougla na koje ga dele dijagonale.

P_{ABCD}=p^2+pq+q^2+pq=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2

Površina trapeza je $P_{ABCD}=(p+q)^2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

62

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci