PrethodniSledeći
4755.

62

TEKST ZADATKA

U trapezu ABCD ABCD (AB∥CD AB \parallel CD ) tačka O O je presek dijagonala. Odrediti površinu trapeza ako su površine trouglova AOB AOB i DOC DOC redom jednake p2 p^2 i q2 q^2 (p,q>0 p, q > 0 ).

REŠENJE ZADATKA

Trouglovi ABC ABC i ABD ABD imaju zajedničku osnovicu AB. AB . Pošto temena C C i D D leže na pravoj paralelnoj sa AB, AB , njihove visine na osnovicu AB AB su jednake, pa su im jednake i površine.

PABC=PABDP_{ABC}=P_{ABD}

Oba trougla sadrže trougao AOB. AOB . Kada njegovu površinu oduzmemo od obe jednake površine, dobijamo da su površine preostala dva trougla jednake. Označimo tu površinu sa x. x .

PBOC=PAOD=xP_{BOC}=P_{AOD}=x

Neka je φ \varphi ugao između dijagonala. Površine četiri trougla zapisujemo formulom P=12absin⁡φ. P=\frac12 ab\sin\varphi . Za uglove koji su suplementni sinus ima istu vrednost.

PAOB=12AO⋅BOsin⁡φ,PCOD=12CO⋅DOsin⁡φ,PAOD=12AO⋅DOsin⁡φ,PBOC=12BO⋅COsin⁡φP_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO\sin\varphi,\quad P_{COD}=\frac12 CO\cdot DO\sin\varphi,\quad P_{AOD}=\frac12 AO\cdot DO\sin\varphi,\quad P_{BOC}=\frac12 BO\cdot CO\sin\varphi

Množenjem površina naspramnih trouglova pojavljuju se isti činioci. Zato je proizvod površina trouglova AOB AOB i COD COD jednak proizvodu površina trouglova AOD AOD i BOC. BOC .

PAOBPCOD=PAODPBOC  ⟹  p2q2=x2  ⟹  x=pqP_{AOB}P_{COD}=P_{AOD}P_{BOC} \implies p^2q^2=x^2 \implies x=pq

Površina trapeza je zbir površina četiri trougla na koje ga dele dijagonale.

PABCD=p2+pq+q2+pq=p2+2pq+q2=(p+q)2P_{ABCD}=p^2+pq+q^2+pq=p^2+2pq+q^2=(p+q)^2

Površina trapeza je PABCD=(p+q)2. P_{ABCD}=(p+q)^2 .

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu