4754. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Postavimo veću osnovicu $AB=6\text{ cm}$ vodoravno. Neka visina iz temena $D$ seče osnovicu u tački $H ,$ neka je odsečak $AH=x ,$ a visina trapeza $h .$ Dijagonale su hipotenuze pravouglih trouglova čije katete uz osnovicu imaju dužine $x+3$ i $6-x .$

AC^2=(x+3)^2+h^2,\qquad BD^2=(6-x)^2+h^2

Možemo dodeliti $AC=7\text{ cm}$ i $BD=8\text{ cm}$ ; zamena dijagonala daje istu visinu. Oduzimanjem Pitagorinih jednakosti uklanjamo $h^2$ i određujemo $x .$

(x+3)^2+h^2=49,\quad(6-x)^2+h^2=64 \implies (6-x)^2-(x+3)^2=15 \implies 27-18x=15 \implies x=\frac23

Iz prve jednačine računamo pozitivnu visinu trapeza.

h^2=49-\left(\frac23+3\right)^2=49-\frac{121}{9}=\frac{320}{9} \implies h=\frac{8\sqrt5}{3}\text{ cm}

Uvrštavamo obe osnovice i dobijenu visinu u formulu za površinu trapeza.

P=\frac{3+6}{2}\cdot\frac{8\sqrt5}{3}=12\sqrt5\text{ cm}^2

Površina trapeza je $P=12\sqrt5\text{ cm}^2 .$

61