Površine trouglova koje dijagonale dele u četvorouglu

Označimo dužine delova dijagonala sa $AO=x ,$ $BO=y ,$ $CO=z$ i $DO=w ,$ a ugao između dijagonala sa $\varphi .$ Svi uglovi kod tačke $O$ imaju sinus $\sin\varphi ,$ jer su jednaki ili suplementni.

AO=x,\quad BO=y,\quad CO=z,\quad DO=w

Formulom za površinu trougla preko dve stranice i ugla između njih zapisujemo površine sva četiri trougla.

P_{OAB}=\frac12xy\sin\varphi,\quad P_{OBC}=\frac12yz\sin\varphi,\quad P_{OCD}=\frac12zw\sin\varphi,\quad P_{ODA}=\frac12wx\sin\varphi

Množenjem površina naspramnih trouglova u oba slučaja dobijamo isti proizvod svih četiriju dužina i kvadrata sinusa ugla.

P_{OAB}P_{OCD}=\frac14xyzw\sin^2\varphi,\qquad P_{OBC}P_{ODA}=\frac14xyzw\sin^2\varphi

Prema tome važi $P_{OAB}P_{OCD}=P_{OBC}P_{ODA} ,$ što je trebalo dokazati.

P_{OAB}P_{OCD}=P_{OBC}P_{ODA}

Započni učenje

Privatni časovi

60

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci