PrethodniSledeći
4743.

60

TEKST ZADATKA

Dijagonale konveksnog četvorougla ABCD ABCD se seku u tački O O i dele četvorougao na trouglove △OAB, \triangle OAB , △OBC, \triangle OBC , △OCD \triangle OCD i △ODA. \triangle ODA . Dokazati da je proizvod površina trouglova △OAB \triangle OAB i △OCD \triangle OCD jednak proizvodu površina trouglova △OBC \triangle OBC i △ODA. \triangle ODA .

REŠENJE ZADATKA

Označimo dužine delova dijagonala sa AO=x, AO=x , BO=y, BO=y , CO=z CO=z i DO=w, DO=w , a ugao između dijagonala sa φ. \varphi . Svi uglovi kod tačke O O imaju sinus sin⁡φ, \sin\varphi , jer su jednaki ili suplementni.

AO=x,BO=y,CO=z,DO=wAO=x,\quad BO=y,\quad CO=z,\quad DO=w

Formulom za površinu trougla preko dve stranice i ugla između njih zapisujemo površine sva četiri trougla.

POAB=12xysin⁡φ,POBC=12yzsin⁡φ,POCD=12zwsin⁡φ,PODA=12wxsin⁡φP_{OAB}=\frac12xy\sin\varphi,\quad P_{OBC}=\frac12yz\sin\varphi,\quad P_{OCD}=\frac12zw\sin\varphi,\quad P_{ODA}=\frac12wx\sin\varphi

Množenjem površina naspramnih trouglova u oba slučaja dobijamo isti proizvod svih četiriju dužina i kvadrata sinusa ugla.

POABPOCD=14xyzwsin⁡2φ,POBCPODA=14xyzwsin⁡2φP_{OAB}P_{OCD}=\frac14xyzw\sin^2\varphi,\qquad P_{OBC}P_{ODA}=\frac14xyzw\sin^2\varphi

Prema tome važi POABPOCD=POBCPODA, P_{OAB}P_{OCD}=P_{OBC}P_{ODA} , što je trebalo dokazati.

POABPOCD=POBCPODAP_{OAB}P_{OCD}=P_{OBC}P_{ODA}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu