4742. Površina mnogougla

Označimo ugao između stranica $a$ i $b$ sa $\gamma .$ Iz formule za površinu trougla određujemo sinus tog ugla.

P=\frac12ab\sin\gamma \implies 6\sqrt3=\frac12\cdot3\cdot7\sin\gamma \implies \sin\gamma=\frac{4\sqrt3}{7}

Pomoću veze $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$ određujemo kosinus. Ugao je tup, pa kosinus mora biti negativan.

\cos^2\gamma=1-\frac{48}{49}=\frac1{49} \implies \cos\gamma=-\frac17

Na treću stranicu, koja leži naspram ugla $\gamma ,$ primenjujemo kosinusnu teoremu.

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma=3^2+7^2-2\cdot3\cdot7\left(-\frac17\right)=9+49+6=64

Dužina stranice je pozitivna, pa je treća stranica trougla $c=8 .$

c=8

59