4741. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Površinu istog trougla zapisujemo pomoću svake stranice i njoj odgovarajuće visine. Odatle izražavamo sve tri visine preko površine $P .$

P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2} \implies h_a=\frac{2P}{a},\quad h_b=\frac{2P}{b},\quad h_c=\frac{2P}{c}

Uslov $h_a+h_b=h_c$ sada pretvaramo u jednačinu za stranicu $c .$

\frac{2P}{a}+\frac{2P}{b}=\frac{2P}{c}

Pošto je trougao nedegenerisan, njegova površina je pozitivna, pa delimo jednačinu sa $2P$ i rešavamo je.

\frac1a+\frac1b=\frac1c \implies \frac{a+b}{ab}=\frac1c \implies c=\frac{ab}{a+b}

Treća stranica trougla je $c=\frac{ab}{a+b} .$

58