PrethodniSledeći
4740.

57

TEKST ZADATKA

Kroz tačku unutar trougla ABC ABC povučene su prave paralelne stranicama trougla. Na taj način formirana su tri manja trougla čije su površine 1, 1 , 4 4 i 9. 9 . Odrediti površinu trougla ABC. ABC .

REŠENJE ZADATKA

Zbog paralelnosti odgovarajućih stranica, sva tri manja trougla slična su trouglu ABC. ABC . Označimo površinu velikog trougla sa P, P , a koeficijente sličnosti manjih trouglova sa k1,k2,k3. k_1,k_2,k_3 .

P1=k12P,P2=k22P,P3=k32PP_1=k_1^2P,\qquad P_2=k_2^2P,\qquad P_3=k_3^2P

Odgovarajuće dužine tri manja trougla, nastale na paralelama, zajedno daju odgovarajuću dužinu velikog trougla. Zato je zbir njihovih koeficijenata sličnosti jednak jedan.

k1+k2+k3=1k_1+k_2+k_3=1

Iz odnosa površina sličnih trouglova koeficijent sličnosti je kvadratni koren količnika površina. Uvrštavamo tri date površine u njihov zbir.

1P+4P+9P=1  ⟹  1+2+3P=1  ⟹  P=6\sqrt{\frac{1}{P}}+\sqrt{\frac{4}{P}}+\sqrt{\frac{9}{P}}=1 \implies \frac{1+2+3}{\sqrt P}=1 \implies \sqrt P=6

Kvadriranjem pozitivne vrednosti P=6 \sqrt P=6 dobijamo da je površina trougla ABC ABC jednaka P=36 P=36 kvadratnih jedinica.

P=36P=36

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu