Površina trougla iz tri manja trougla sa paralelama

Zbog paralelnosti odgovarajućih stranica, sva tri manja trougla slična su trouglu $ABC .$ Označimo površinu velikog trougla sa $P ,$ a koeficijente sličnosti manjih trouglova sa $k_1,k_2,k_3 .$

P_1=k_1^2P,\qquad P_2=k_2^2P,\qquad P_3=k_3^2P

Odgovarajuće dužine tri manja trougla, nastale na paralelama, zajedno daju odgovarajuću dužinu velikog trougla. Zato je zbir njihovih koeficijenata sličnosti jednak jedan.

k_1+k_2+k_3=1

Iz odnosa površina sličnih trouglova koeficijent sličnosti je kvadratni koren količnika površina. Uvrštavamo tri date površine u njihov zbir.

\sqrt{\frac{1}{P}}+\sqrt{\frac{4}{P}}+\sqrt{\frac{9}{P}}=1 \implies \frac{1+2+3}{\sqrt P}=1 \implies \sqrt P=6

Kvadriranjem pozitivne vrednosti $\sqrt P=6$ dobijamo da je površina trougla $ABC$ jednaka $P=36$ kvadratnih jedinica.

P=36

Započni učenje

Privatni časovi

57

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci