Jednakokraki trapez: ugao između dijagonala

Označimo visinu sa $h ,$ a srednju duž sa $m .$ Površina trapeza je $P=mh ,$ pa dati uslovi određuju zbir i proizvod ovih dužina.

h+m=6,\qquad hm=6

Računamo zbir kvadrata i apsolutnu razliku visine i srednje duži; te veličine su dovoljne za određivanje oštrog ugla između dijagonala.

h^2+m^2=(h+m)^2-2hm=36-12=24,\qquad |h-m|=\sqrt{(h+m)^2-4hm}=\sqrt{12}=2\sqrt3

Svaka dijagonala jednakokrakog trapeza je hipotenuza pravouglog trougla čije katete imaju dužine $m$ i $h .$ Ako je $\theta$ oštar ugao između dijagonala, odnos skalarnog proizvoda i proizvoda njihovih dužina daje njegov kosinus.

\cos\theta=\frac{|h^2-m^2|}{h^2+m^2}=\frac{|h-m|(h+m)}{24}=\frac{2\sqrt3\cdot6}{24}=\frac{\sqrt3}{2}

Pošto je $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2} ,$ oštar ugao između dijagonala iznosi $30^\circ .$ Zamena uloga $h$ i $m$ ne menja ovaj ugao.

\theta=30^\circ

Započni učenje

Privatni časovi

54

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci