PrethodniSledeći
4753.

54

TEKST ZADATKA

Zbir visine i srednje duži jednakokrakog trapeza je 6 cm, 6\text{ cm} , a površina trapeza je 6 cm2. 6\text{ cm}^2 . Odrediti meru ugla između dijagonala tog trapeza.

REŠENJE ZADATKA

Označimo visinu sa h, h , a srednju duž sa m. m . Površina trapeza je P=mh, P=mh , pa dati uslovi određuju zbir i proizvod ovih dužina.

h+m=6,hm=6h+m=6,\qquad hm=6

Računamo zbir kvadrata i apsolutnu razliku visine i srednje duži; te veličine su dovoljne za određivanje oštrog ugla između dijagonala.

h2+m2=(h+m)2−2hm=36−12=24,∣h−m∣=(h+m)2−4hm=12=23h^2+m^2=(h+m)^2-2hm=36-12=24,\qquad |h-m|=\sqrt{(h+m)^2-4hm}=\sqrt{12}=2\sqrt3

Svaka dijagonala jednakokrakog trapeza je hipotenuza pravouglog trougla čije katete imaju dužine m m i h. h . Ako je θ \theta oštar ugao između dijagonala, odnos skalarnog proizvoda i proizvoda njihovih dužina daje njegov kosinus.

cos⁡θ=∣h2−m2∣h2+m2=∣h−m∣(h+m)24=23⋅624=32\cos\theta=\frac{|h^2-m^2|}{h^2+m^2}=\frac{|h-m|(h+m)}{24}=\frac{2\sqrt3\cdot6}{24}=\frac{\sqrt3}{2}

Pošto je cos⁡30∘=32, \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2} , oštar ugao između dijagonala iznosi 30∘. 30^\circ . Zamena uloga h h i m m ne menja ovaj ugao.

θ=30∘\theta=30^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu