4738. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Neka početni mnogougao ima $n$ stranica. Unutrašnji ugao pravilnog $n$ -tougla iznosi $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n} ,$ dok mnogougao sa $n+2$ stranica ima unutrašnji ugao $\frac{n\cdot180^\circ}{n+2} .$ Po uslovu zadatka, njihova razlika je $9^\circ .$

\frac{180n}{n+2}-\frac{180(n-2)}{n}=9

Rešavamo dobijenu jednačinu i zadržavamo pozitivan ceo broj stranica.

180n^2-180(n-2)(n+2)=9n(n+2) \implies 720=9n^2+18n \implies n^2+2n-80=0 \implies (n-8)(n+10)=0 \implies n=8

Spajanjem centra opisanog kruga sa temenima osmougla delimo ga na osam podudarnih trouglova. Dve stranice svakog trougla su poluprečnici od $2\text{ cm} ,$ a ugao između njih je središnji ugao $360^\circ:8=45^\circ .$

P_1=\frac12R^2\sin45^\circ=\frac12\cdot2^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\text{ cm}^2

Površina pravilnog osmougla jednaka je zbiru površina osam podudarnih trouglova.

P=8P_1=8\sqrt2\text{ cm}^2

Traženi mnogougao je pravilan osmougao, a njegova površina je $P=8\sqrt2\text{ cm}^2 .$

55