PrethodniSledeći
4752.

53

TEKST ZADATKA

Dat je jednakokraki trapez čije su dijagonale uzajamno normalne. Dokazati da je tada površina trapeza jednaka kvadratu njegove visine.

REŠENJE ZADATKA

Označimo osnovice sa a a i b, b , visinu sa h, h , a srednju duž sa m. m . Zbog simetrije jednakokrakog trapeza, svaka dijagonala je hipotenuza pravouglog trougla čije katete imaju dužine m m i h. h .

m=a+b2m=\frac{a+b}{2}

Katete dužine m m odgovaraju suprotnim smerovima duž osnovica, dok katete dužine h h imaju isti smer. Uslov normalnosti dijagonala zato daje jednakost kvadrata ovih kateta.

h2−m2=0  ⟹  h2=m2  ⟹  h=mh^2-m^2=0 \implies h^2=m^2 \implies h=m

Po formuli za površinu trapeza, površina je proizvod srednje duži i visine. Dobijena jednakost m=h m=h neposredno daje traženu tvrdnju.

P=a+b2h=mh=h⋅h=h2P=\frac{a+b}{2}h=mh=h\cdot h=h^2

Dakle, površina jednakokrakog trapeza sa uzajamno normalnim dijagonalama jednaka je kvadratu njegove visine: P=h2, P=h^2 , što je trebalo dokazati.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu