4751. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Zbog odnosa osnovica označimo veću osnovicu sa $3x ,$ a manju sa $x .$ Srednja duž trapeza tada je $2x .$

m=\frac{3x+x}{2}=2x

Svaka dijagonala jednakokrakog trapeza je hipotenuza pravouglog trougla čije katete imaju dužine $m$ i $h .$ Pošto su simetrične dijagonale uzajamno normalne, te katete imaju jednake dužine, pa je visina jednaka srednjoj duži.

h=m=2x

Odsečak veće osnovice uz krak jednak je polovini razlike osnovica, dakle $x .$ Pitagorinom teoremom u pravouglom trouglu koji obrazuju krak, visina i taj odsečak određujemo $x .$

(2\sqrt5)^2=x^2+h^2=x^2+(2x)^2=5x^2 \implies 20=5x^2 \implies x=2

Sada su srednja duž i visina jednake $4 ,$ pa površinu računamo formulom za trapez.

P=mh=4\cdot4=16

Površina trapeza je $P=16 .$

52