Površina trapeza ako se krak vidi pod uglom 60

Označimo poluprečnik opisanog kruga sa $R .$ Poluprečnici povučeni do krajeva jednog kraka obrazuju ugao od $60^\circ .$ Neka njihov simetrični pravac gradi ugao $\varphi$ sa pravcem osnovica; tada ti poluprečnici grade uglove $\varphi-30^\circ$ i $\varphi+30^\circ$ sa osnovicama.

\angle BOC=60^\circ

Posmatramo pravougle trouglove kojima su ovi poluprečnici hipotenuze. Visina trapeza jednaka je razlici njihovih kateta normalnih na osnovice. Formule za zbir i razliku sinusa daju sledeću vezu.

h=R\left(\sin(\varphi+30^\circ)-\sin(\varphi-30^\circ)\right)=R\cos\varphi

Ako su osnovice $a$ i $b ,$ njihova srednja duž $m=\frac{a+b}{2}$ jednaka je zbiru kateta tih pravouglih trouglova koje su paralelne osnovicama.

m=R\left(\cos(\varphi+30^\circ)+\cos(\varphi-30^\circ)\right)=2R\cos\varphi\cos30^\circ=\sqrt3R\cos\varphi=\sqrt3h

Površina trapeza je proizvod srednje duži i visine.

P=mh=\sqrt3h\cdot h=\sqrt3h^2

Površina jednakokrakog trapeza je $P=\sqrt3h^2 .$

Započni učenje

Privatni časovi

50

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci