PrethodniSledeći
4749.

50

TEKST ZADATKA

Naći površinu jednakokrakog trapeza ako je njegova visina h, h , a krak se vidi iz centra opisanog kruga pod uglom od 60∘. 60^\circ .

REŠENJE ZADATKA

Označimo poluprečnik opisanog kruga sa R. R . Poluprečnici povučeni do krajeva jednog kraka obrazuju ugao od 60∘. 60^\circ . Neka njihov simetrični pravac gradi ugao φ \varphi sa pravcem osnovica; tada ti poluprečnici grade uglove φ−30∘ \varphi-30^\circ i φ+30∘ \varphi+30^\circ sa osnovicama.

∠BOC=60∘\angle BOC=60^\circ

Posmatramo pravougle trouglove kojima su ovi poluprečnici hipotenuze. Visina trapeza jednaka je razlici njihovih kateta normalnih na osnovice. Formule za zbir i razliku sinusa daju sledeću vezu.

h=R(sin⁡(φ+30∘)−sin⁡(φ−30∘))=Rcos⁡φh=R\left(\sin(\varphi+30^\circ)-\sin(\varphi-30^\circ)\right)=R\cos\varphi

Ako su osnovice a a i b, b , njihova srednja duž m=a+b2 m=\frac{a+b}{2} jednaka je zbiru kateta tih pravouglih trouglova koje su paralelne osnovicama.

m=R(cos⁡(φ+30∘)+cos⁡(φ−30∘))=2Rcos⁡φcos⁡30∘=3Rcos⁡φ=3hm=R\left(\cos(\varphi+30^\circ)+\cos(\varphi-30^\circ)\right)=2R\cos\varphi\cos30^\circ=\sqrt3R\cos\varphi=\sqrt3h

Površina trapeza je proizvod srednje duži i visine.

P=mh=3h⋅h=3h2P=mh=\sqrt3h\cdot h=\sqrt3h^2

Površina jednakokrakog trapeza je P=3h2. P=\sqrt3h^2 .

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu