4736. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Označimo veću osnovicu sa $a ,$ manju sa $b=1\text{ cm} ,$ a jednake krake sa $c .$ Ako dijagonala iz temena tupog ugla polovi taj ugao, jedan njen deo ugla jednak je uglu koji dijagonala, zbog paralelnosti osnovica, gradi sa većom osnovicom. Zato u dobijenom trouglu postoje dva jednaka ugla, pa su naspramne stranice jednake: veća osnovica jednaka je kraku.

a=c

Iz obima trapeza određujemo veću osnovicu i krak.

a+b+2c=14 \implies a+1+2a=14 \implies 3a=13 \implies a=c=\frac{13}{3}\text{ cm}

Spuštanjem visina uz krajeve manje osnovice dobijamo dva podudarna pravougla trougla. Njihova horizontalna kateta je polovina razlike osnovica, pa visinu računamo Pitagorinom teoremom.

x=\frac{a-b}{2}=\frac{\frac{13}{3}-1}{2}=\frac{5}{3}\text{ cm},\qquad h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{\frac{169}{9}-\frac{25}{9}}=4\text{ cm}

Primenjujemo formulu za površinu trapeza na određene osnovice i visinu.

P=\frac{a+b}{2}h=\frac{\frac{13}{3}+1}{2}\cdot4=\frac{32}{3}\text{ cm}^2

Površina trapeza je $P=\frac{32}{3}\text{ cm}^2 .$

49