4748. Površina mnogougla

Označimo $CD=AD=a$ ; tada je $AB=2a .$ Neka visina iz temena $D$ seče pravu osnovice $AB$ u tački $E ,$ neka je $AE=u ,$ a visina trapeza $h .$ Krak $AD ,$ odsečak $AE$ i visina grade pravougli trougao, pa Pitagorina teorema daje:

u^2+h^2=a^2

Dijagonala $AC$ je hipotenuza pravouglog trougla čije su katete $h$ i odsečak dužine $u+a .$ Krak $BC$ je hipotenuza pravouglog trougla čije su katete $h$ i odsečak dužine $a-u .$ Zato važe:

x^2=(u+a)^2+h^2=2a^2+2au,\qquad y^2=(a-u)^2+h^2=2a^2-2au

Sabiranjem prethodnih jednakosti određujemo $a ,$ a njihovim oduzimanjem odsečak $u :$

x^2+y^2=4a^2 \implies a=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2},\qquad x^2-y^2=4au \implies u=\frac{x^2-y^2}{4a}

Iz veze $h^2=a^2-u^2$ sređivanjem dobijamo visinu izraženu pomoću datih dužina:

h^2=\frac{x^2+y^2}{4}-\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \implies h=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}

U formulu za površinu trapeza uvrštavamo $AB=2a ,$ $CD=a$ i dobijenu visinu:

P=\frac{AB+CD}{2}h=\frac{3a}{2}h=\frac32\cdot\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}\cdot\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{3xy}{4}