4747. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Povlačenjem visina sa krajeva manje osnovice do veće dobijamo dva odsečka veće osnovice, dužina $x$ i $y .$ Njihov zbir jednak je razlici osnovica:

x+y=AB-CD=20-5=15

Oba nastala pravougla trougla imaju istu visinu $h .$ Pitagorina teorema za krake $AD=14$ i $BC=13$ daje dve jednačine:

x^2+h^2=14^2,\qquad y^2+h^2=13^2

Oduzimanjem jednačina određujemo razliku dužina odsečaka, a zajedno sa njihovim zbirom zatim određujemo oba odsečka:

x^2-y^2=27 \implies (x-y)(x+y)=27 \implies x-y=1{,}8,\qquad x=8{,}4,\quad y=6{,}6

Iz pravouglog trougla računamo visinu trapeza, a potom njegovu površinu:

h=\sqrt{14^2-8{,}4^2}=\sqrt{125{,}44}=11{,}2,\qquad P=\frac{20+5}{2}\cdot11{,}2=140

Površina trapeza je $140 .$

46