4746. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Povlačenjem visina sa krajeva manje osnovice do veće dobijamo dva odsečka veće osnovice, dužina $p$ i $q .$ Njihov zbir jednak je razlici osnovica:

p+q=a-b=25-15=10\text{ cm}

Ako su uglovi na većoj osnovici $\alpha$ i $\beta ,$ tada su $\tan\alpha=h/p$ i $\tan\beta=h/q .$ Uslov $\alpha+\beta=90^\circ$ daje $\tan\alpha\tan\beta=1 ,$ pa važi:

\frac{h}{p}\cdot\frac{h}{q}=1 \implies h^2=pq

Krak dužine $8\text{ cm} ,$ odsečak osnovice $p$ i visina grade pravougli trougao. Koristeći $h^2=pq$ i $p+q=10 ,$ određujemo odsečak i visinu:

8^2=p^2+h^2=p^2+pq=p(p+q)=10p \implies p=6{,}4,\quad q=3{,}6,\quad h=\sqrt{pq}=4{,}8\text{ cm}

Drugi krak $c$ je hipotenuza pravouglog trougla sa katetama $q$ i $h ,$ a površinu računamo formulom za trapez:

c=\sqrt{q^2+h^2}=\sqrt{3{,}6^2+4{,}8^2}=6\text{ cm},\qquad P=\frac{25+15}{2}\cdot4{,}8=96\text{ cm}^2

Drugi krak trapeza je $6\text{ cm} ,$ a površina trapeza je $96\text{ cm}^2 .$

45