4745. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Krug dodiruje obe paralelne osnovice, pa je visina trapeza jednaka prečniku kruga. Iz formule za površinu zatim određujemo zbir osnovica $a$ i $b :$

h=2r=3\text{ cm},\qquad 15=\frac{a+b}{2}\cdot3 \implies a+b=10\text{ cm}

Kod četvorougla opisanog oko kruga zbirovi naspramnih stranica su jednaki. Pošto je trapez jednakokraki, oba kraka imaju dužinu $c ,$ pa je:

a+b=c+c \implies c=\frac{a+b}{2}=5\text{ cm}

Spuštanjem visina sa krajeva manje osnovice dobijamo dva podudarna pravougla trougla. Njihova horizontalna kateta $u$ zadovoljava:

u=\sqrt{c^2-h^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ cm},\qquad a-b=2u=8\text{ cm}

Dijagonala i visina jednakokrakog trapeza obrazuju pravougli trougao. Odsečak veće osnovice koji je druga kateta tog trougla jednak je polovini zbira osnovica, odnosno $5\text{ cm} ,$ pa je:

d=\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+h^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\text{ cm}

Dužina dijagonale trapeza je $d=\sqrt{34}\text{ cm} .$

41