4724. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Rešavamo sistem koji određuje katete. Iz druge jednačine je $a=b+2 ,$ pa tu vrednost uvrštavamo u prvu jednačinu:

2(b+2)+b=22 \implies 3b=18 \implies b=6,\qquad a=8

Hipotenuzu $c$ dobijamo primenom Pitagorine teoreme, a zatim računamo obim $O$ i površinu $P$ pravouglog trougla:

c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10,\qquad O=a+b+c=24,\qquad P=\frac{ab}{2}=24

Poluobim je $s=O/2=12 .$ Iz formula $P=rs$ i $P=abc/(4R)$ računamo poluprečnike upisanog i opisanog kruga:

r=\frac{P}{s}=\frac{24}{12}=2,\qquad R=\frac{abc}{4P}=\frac{8\cdot6\cdot10}{4\cdot24}=5

Dakle, obim trougla je $24 ,$ površina je $24 ,$ poluprečnik upisanog kruga je $r=2 ,$ a poluprečnik opisanog kruga je $R=5 .$

33