4720. Površina mnogougla

REŠENJE ZADATKA

Poluobim trougla računamo kao polovinu zbira njegovih stranica:

s=\frac{(x-y)+x+(x+y)}{2}=\frac{3x}{2}

Razlike poluobima i stranica, potrebne za Heronovu formulu, jesu:

s-a=\frac{x+2y}{2},\qquad s-b=\frac{x}{2},\qquad s-c=\frac{x-2y}{2}

Uvrštavanjem u Heronovu formulu i korišćenjem razlike kvadrata dobijamo:

P=\sqrt{\frac{3x}{2}\cdot\frac{x+2y}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{3x^2(x^2-4y^2)}{16}}=\frac{x}{4}\sqrt{3(x^2-4y^2)}

Da bi dati izrazi bili stranice trougla, mora važiti $x>2|y|$ ; tada je $x>0$ i izvučeni koren je pozitivan. Površina trougla je $P=\frac{x}{4}\sqrt{3(x^2-4y^2)} .$

29.v